行列式的 Laplace 定理

定义（$k$ 阶子式）：在 $n$ 阶行列式 $D$ 中，任取 $k$ 行与 $k$ 列（$k \le n$），位于这些行与列交点处的 $k^2$ 个元素按原次序排列所构成的 $k \times k$ 行列式 $M$，称为 $D$ 的一个 $k$ 阶子式。

当 $k < n$ 时，在 $D$ 中划去这 $k$ 行与 $k$ 列后，剩余元素按原次序排列所构成的 $(n-k)$ 阶行列式 $M'$，称为 $k$ 阶子式 $M$ 的余子式。

例：

注：在上例中，$M$ 的代数余子式为

定义（代数余子式）：设 $M$ 是 $D$ 的一个 $k$ 阶子式，其行指标与列指标分别为 $i_{1},i_{2},\cdots,i_{k}; \ j_{1},j_{2},\cdots,j_{k}$。将 $M$ 的余子式 $M'$ 乘以符号 $(-1)^{(i_{1}+i_{2}+\cdots+i_{k})+(j_{1}+j_{2}+\cdots+j_{k})}$，即得 $M$ 的代数余子式。

引理：行列式 $D$ 的任一子式 $M$ 与其代数余子式 $A$ 的乘积中的每一项，都对应着行列式 $D$ 展开式中的某一项，且符号相同。

证明：首先考虑 $M$ 位于行列式 $D$ 左上角的情形：

此时，$M$ 的代数余子式为：

$M$ 中的每一项可写为 $a_{1\alpha_{1}}a_{2\alpha_{2}}\cdots a_{k\alpha_{k}}$，其中 $\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{k}$ 是 $1,2,\cdots,k$ 的一个排列。该项的符号为 $(-1)^{\tau(\alpha_1 \alpha_2\cdots\alpha_k)}$。

$M'$ 中的每一项可写为 $a_{k+1,\beta_{k+1}}a_{k+2,\beta_{k+2}}\cdots a_{n\beta_{n}}$，其中 $\beta_{k+1}\beta_{k+2}\cdots\beta_{n}$ 是 $k+1,k+2,\cdots,n$ 的一个排列，其符号为 $(-1)^{\tau((\beta_{k+1}-k)(\beta_{k+2}-k)\cdots(\beta_{n}-k))}$。

这两项的乘积为 $a_{1\alpha_{1}}a_{2\alpha_{2}}\cdots a_{k\alpha_{k}}a_{k+1,\beta_{k+1}}\cdots a_{n\beta_{n}}$，其合并后的符号为：

因此，该乘积是行列式 $D$ 展开式中的一项，且符号相同。

下面证明一般情形。

设子式 $M$ 位于 $D$ 的第 $i_1, i_2, \cdots, i_k$ 行与第 $j_1, j_2, \cdots, j_k$ 列，其中 $i_1 < i_2 < \cdots < i_k$，$j_1 < j_2 < \cdots < j_k$。

我们重新排列行列式 $D$ 的行与列，使 $M$ 移动到左上角。

首先，将第 $i_1$ 行依次与第 $i_1-1, i_1-2, \cdots, 2, 1$ 行交换，共需 $i_1-1$ 次交换即可把第 $i_1$ 行移到第一行。再将第 $i_2$ 行交换 $i_2-2$ 次移到第二行，依此类推。总计需要

次行交换，即可将第 $i_1, i_2, \cdots, i_k$ 行移到第 $1, 2, \cdots, k$ 行。

类似地，通过列交换将 $M$ 的各列移到第 $1, 2, \cdots, k$ 列，需要

次列交换。

设经过上述变换后所得的新行列式为 $D_1$。则有：

因此，$D_1$ 的展开式与 $D$ 的展开式含有相同的项，但每一项的符号相差因子 $(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots+j_k}$。

现在，$M$ 位于 $D_1$ 的左上角，$M$ 在 $D_1$ 中的余子式与代数余子式均为 $M'$。因此，乘积 $MM'$ 中的每一项都对应着 $D_1$ 中符号相同的一项。

$M$ 在 $D$ 中的代数余子式 $A$ 满足 $MA = (-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots+j_k}MM'$，它是 $D_1$ 中符号相差因子 $(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots+j_k}$ 的一项。因此，$MA$ 是 $D$ 中符号相同的一项。

定理（Laplace 定理）：在行列式 $D$ 中任取 $k$（$1 \le k \le n-1$）行，由这 $k$ 行所构成的全部 $k$ 阶子式与其各自代数余子式乘积之和等于行列式 $D$。

证明：设由 $D$ 中所选 $k$ 行构成的子式为 $M_1, M_2, \cdots, M_t$，其代数余子式为 $A_1, A_2, \cdots, A_t$。定理断言：

其中

由引理，$M_iA_i$ 中的每一项都对应着 $D$ 中符号相同的一项，且 $M_iA_i$ 与 $M_jA_j$（$i \ne j$）之间没有公共项。

等式左端共含 $n!$ 项，右端共含

$\sum\limits_{i=1}^{t}k!(n-k)! = k!(n-k)!\dfrac{n!}{k!(n-k)!} = n!$

项。因此，定理得证。

例：在行列式 $D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 &4 \\ 0 & -1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 3\\ 0 & 1& 3 & 1\end{vmatrix}$ 中，选取前两行，可得六个子式：

它们的代数余子式为：

定理：两个 $n$ 阶行列式

的乘积等于一个行列式

其中每个元素 $c_{ij}$ 为 $D_1$ 的第 $i$ 行元素与 $D_2$ 的第 $j$ 行对应元素乘积之和，

即

证明：构造一个 $2n$ 阶行列式

根据 Laplace 定理，按 $D$ 的前 $n$ 行展开，由前 $n$ 行与其余元素所构成的所有子式中，除左上角的子式外，其余均为零，故

接下来，我们证明 $D = C$。对 $D$ 施行初等行变换：将第 $(n+1)$ 行的 $a_{11}$ 倍、第 $(n+2)$ 行的 $a_{12}$ 倍、$\dots$、第 $(2n)$ 行的 $a_{1n}$ 倍都加到第一行，得

类似地，依次将第 $(n+1)$ 行的 $a_{k1}$ 倍、第 $(n+2)$ 行的 $a_{k2}$ 倍、$\dots$、第 $(2n)$ 行的 $a_{kn}$ 倍都加到第 $k$ 行，可得

在该行列式中，前 $n$ 行只含有一个非零的 $n$ 阶子式。因此，由 Laplace 定理，