Taylor 公式、Taylor 定理、Taylor 级数与 Taylor 展开

Taylor 公式

若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，即

也可表示为

整理得

因此，

移项整理得

这说明在点 $x_{0}$ 附近，我们可用一次多项式 $f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$ 近似函数 $f(x)$，其误差 $(x-x_{0})$ 为高阶无穷小。然而，这样的近似有时较为粗糙，误差相对较大。因此，我们自然会想：能否用 $n$ 次多项式来近似 $f(x)$，使得误差达到 $o((x-x_{0})^{n})$。

对于多项式函数

依次在 $x_{0}$ 处求导，可得

因此，

由此可见，多项式函数 $f_{n}(x)$ 的系数由其函数在点 $x_{0}$ 处的各阶导数唯一确定。这一事实启发我们：对于一般的函数 $f(x)$，若 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处具有直到 $n$ 阶的导数，那么这些导数唯一确定一个 $n$ 次多项式

该多项式称为函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的 Taylor 多项式（泰勒多项式），而 $T_{n}(x)$ 的系数

称为 Taylor 系数（泰勒系数）。

显然，函数 $f(x)$ 与其 Taylor 多项式 $T_{n}(x)$ 在点 $x_{0}$ 处具有相同的函数值以及直到 $n$ 阶的各阶导数，即

回到我们的猜想：能否证明 $f(x)=T_{n}(x)+o((x-x_{0})^{n})$？若此式成立，则用 Taylor 多项式 $T_{n}(x)$ 近似函数 $f(x)$ 时，误差将恰如所愿，即误差项为比 $(x-x_{0})^{n}$ 更高阶的无穷小。

定理：若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处具有直到 $n$ 阶的导数，则

即

证明：设

需证明

由于

因此，

且

因为 $f^{(n)}(x_{0})$ 存在，
故在 $x_{0}$ 的某邻域 $U(x_{0})$ 内，$f(x)$ 具有 $(n-1)$ 阶导数 $f^{(n-1)}(x)$。
因此，当 $x\in U^{o}(x_{0})$ 且 $x\rightarrow x_{0}$ 时，反复应用 L'Hôpital 法则 $n-1$ 次，可得

上述定理所证得的表达式称为函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处的 Taylor 公式。由于其余项

故又称其为带 Peano 余项的 Taylor 公式。因此，这一表达式也被称为带 Peano 余项的 Taylor 公式。

注：带 Peano 余项的 Taylor 公式是一个定性表达式。虽然该式对 $f(x)$ 的整个定义域都成立，但其余项仅在点 $x_{0}$ 附近才有意义，因此这一表达式的应用有很大的局限性。

Taylor 定理

为了克服上述 Taylor 公式只能对函数作定性分析的不足，我们需要一个更为精确的定量表达式来刻画函数 $f(x)$。定量表达式能更准确地刻画用多项式函数近似函数 $f(x)$ 时的误差范围。

定理（Taylor 定理）：若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上具有直到 $n$ 阶的连续导数，且在 $(a, b)$ 上具有 $(n+1)$ 阶导数，则对任意给定的 $x, x_{0} \in [a, b]$，在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得

分析：由定理的条件可以看出，在 $[a, b]$ 上可对函数 $f(x)$ 与 $(x-x_{0})^{n+1}$ 「反复」使用微分中值定理，因此证明的思路是利用中值定理。

证明：设

要证明

显然，$F(x)$ 与 $G(x)$ 在 $[a, b]$ 上都具有直到 $n$ 阶的连续导数，且在 $(a, b)$ 上具有 $(n+1)$ 阶导数。此外，$F(x_{0})=F'(x_{0})=\dots=F^{(n)}(x_{0})=0$，$G(x_{0})=G'(x_{0})=\dots=G^{(n)}(x_{0})=0$，且 $G^{(n+1)}(x)=(n+1)!$。因此，

证毕。

注：Taylor 定理也可作如下等价表述：若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域 $U(x_{0})$ 内具有 $(n+1)$ 阶导数，则对该邻域内任一点 $x$，有

这一等价表述可能更易于记忆。

其余项

称为 Lagrange 余项，因此 Taylor 定理也称带 Lagrange 余项的 Taylor 公式。

此外，由 Taylor 定理的条件可以看出，与 Taylor 公式（仅要求在点 $x_{0}$ 处存在 $n$ 阶导数）相比，其使用条件要苛刻得多，因而所得的结论也更强。Taylor 定理可用于用多项式函数对函数 $f(x)$ 作定量近似。

Taylor 级数

Taylor 级数与前面提到的两个数学概念相比，在数学分析中出现的较晚，因为它需要以级数、幂级数与函数项级数的知识为基础。由于级数与函数项级数的知识并非本文的重点，感兴趣的读者可参阅任意一本数学分析教材作进一步学习。此处我们只给出与 Taylor 级数密切相关的内容，重点放在幂级数上。

幂级数是函数项级数中形式最简单的一类，由函数列 $\left\{ a_{n}(x-x_{0})^{n} \right\}$ 生成：

为简化形式，我们仅讨论 $x_{0}=0$ 的情形：

相应地，将 $x$ 替换为 $x-x_{0}$，即得到上述一般情形。因此，下文所述幂级数均指幂级数：

讨论函数项级数时，首先需要了解其收敛域。幂级数的收敛域具有特殊的性质，如下述定理所示：

Abel 定理：若幂级数

在 $x=\bar{x}\ne0$ 处收敛，则对满足不等式 $\left| x \right|<\left| \bar{x} \right|$ 的任意 $x$，幂级数收敛且绝对收敛。若幂级数在 $x=\bar{x}\ne0$ 处发散，则对满足不等式 $\left| x \right|>\left| \bar{x} \right|$ 的任意 $x$，幂级数发散。

证明：设级数

收敛。由级数收敛的必要条件，数列 $\left\{ a_{n}\bar{x}^{n} \right\}$ 收敛于零且有界。故存在正数 $M$，使得

又对满足不等式 $\left| x \right|<\left| \bar{x} \right|$ 的任意 $x$，有 $\left| \frac{x}{\bar{x}} \right|<1$。因此，

其中 $r=\left| \frac{x}{\bar{x}} \right|<1$。由于级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{Mr^{n}}$ 收敛，故当 $\left| x \right|<\left| \bar{x} \right|$ 时，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 绝对收敛。

反之，若幂级数在 $x=\bar{x}\ne0$ 处发散，且存在 $x_{0}$ 满足 $\left| x_{0} \right|>\left| \bar{x} \right|$ 使级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x_{0}^{n}}$ 收敛，则由前述结论，幂级数应在 $x=\bar{x}$ 处绝对收敛，这与假设矛盾。因此，对满足不等式 $\left| x \right|>\left| \bar{x} \right|$ 的所有 $x$，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}\bar{x}^{n}}$ 发散。

事实上，Abel 定理揭示了幂级数的收敛特征，即幂级数的收敛域必为以原点为中心的区间。若记该区间长度为 $2R$，则 $R$ 称为幂级数的收敛半径。我们称 $(-R,R)$ 为幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 的收敛区间。

定理：对幂级数

若 $\lim_{n \to \infty}{\sqrt[n]{\left| a_{n} \right|}} = \rho$，则当

• $(i)$ $0 < \rho < +\infty$ 时，收敛半径 $R = \frac{1}{\rho}$；
• $(ii)$ $\rho = 0$ 时，收敛半径 $R = +\infty$；
• $(iii)$ $p = +\infty$ 时，收敛半径 $R = 0$。

证明：对幂级数

由于

根据正项级数的根值判别法，当 $\rho\left| x \right| < 1$ 时，$\sum_{n=0}^{\infty}{\left| a_{n}x^{n} \right|}$ 收敛；当 $\rho\left| x \right| > 1$ 时幂级数发散。因此，当 $0 < \rho < +\infty$ 时，由 $\rho\left| x \right| < 1$ 得收敛半径 $R = \frac{1}{\rho}$。当 $\rho = 0$ 时，$\rho\left| x \right| < 1$ 对任意 $x$ 成立，故 $R = +\infty$。当 $\rho = +\infty$ 时，除 $x = 0$ 外，$\rho\left| x \right| > 1$ 对任意 $x$ 成立，故 $R = 0$。

注：若

则必有

因此，在求收敛半径时，也可利用比值判别法。此外，在上述证明中，我们对原幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 各项取绝对值，得到幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{\left| a_{n}x^{n} \right|}$ 进行论证。由于幂级数在其收敛区间内绝对收敛，这两个幂级数具有完全相同的收敛半径，故此证明方法有效。

当然，上述求收敛半径的方法存在局限。若极限 $\lim_{n \to \infty}{\sqrt[n]{\left| a_{n} \right|}}$ 不存在（且不是正无穷大），则此方法失效。因此，一般数学分析教材中会用上极限方法给出求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 收敛半径的更一般方法。定理如下：

（推广）定理：对幂级数

若

则当

• $(i)$ $0 < \rho < +\infty$ 时，收敛半径 $R = \frac{1}{\rho}$；
• $(ii)$ $\rho = 0$ 时，收敛半径 $R = +\infty$；
• $(iii)$ $p = +\infty$ 时，收敛半径 $R = 0$。

由于上极限总是存在，故任何幂级数都可用此定理求出收敛半径。

在实际求幂级数收敛半径的问题中，我们可能会遇到「缺项」的幂级数，例如幂级数

这类幂级数当然可用上述上极限方法求出收敛半径，但更有效的方法是运用根值判别法来推求幂级数的收敛半径：

考虑

根据正项级数的根值判别法，当 $\frac{x^{2}}{9} < 1$，即 $\left| x \right| < 3$ 时，幂级数收敛；当 $\frac{x^{2}}{9} > 1$，即 $\left| x \right| > 3$ 时，幂级数发散。当 $x = \pm3$ 时，相应的级数为：

由于

级数

发散，说明原级数的收敛区间为 $(-3,3)$。

幂级数相对于一般的函数项级数，在一致收敛方面具有两条性质：

性质 1：若幂级数

的收敛半径为 $R (> 0)$，则幂级数在其收敛区间 $(-R,R)$ 上一致收敛。

证明：设 $[a,b]$ 为 $(-R,R)$ 内任一闭区间，并记

则对 $[a,b]$ 内任一点 $x$，有

由于幂级数在点 $\bar{x}$ 处绝对收敛，由 M 判别法，幂级数

在 $[a,b]$ 上一致收敛。由于 $[a,b]$ 是任取的，幂级数在其收敛区间 $(-R,R)$ 上一致收敛。

性质 2：若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 的收敛半径为 $R (> 0)$，且在 $x = R$（或 $x = -R$）处收敛，则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 在 $[0,R]$（或 $[-R,0]$）上一致收敛。

证明：设幂级数在 $x = R$ 处收敛。对 $x \in [0,R]$，有 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}} = \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}R^{n}(\frac{x}{R})^{n}}$。

由于级数

收敛，且函数列

在 $[0,R]$ 上单调递减且一致有界，即

由 Abel 判别法，级数

在 $[0,R]$ 上一致收敛。

注：事实上，由于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 在 $(-R,0]$ 上一致收敛，还可得到如下结论：当幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 在 $x = R$ 处收敛时，幂级数在 $(-R,R]$ 上一致收敛。

由幂级数一致收敛的两条性质，还可推出幂级数具备的其他性质：

$(i)$ 幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 的和函数在 $(-R,R)$ 上连续。

$(ii)$ 若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 在其收敛区间的左（右）端点收敛，则其和函数在该端点右（左）连续。

注：由于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 的每一项都在 $(-R,R)$ 上连续，且 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 在 $(-R,R)$ 上一致收敛，故由函数项级数一致收敛的性质可推出性质 $(i)$。若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 在 $x = R$（或 $x = -R$）处收敛，则由同样的推理可知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 在 $[0,R]$（或 $[-R,0]$）上一致收敛，从而性质 $(ii)$ 成立。

在研究函数项级数时，有关于逐项积分与逐项求导的定理：

（逐项积分定理）：若函数项级数

在 $[a,b]$ 上一致收敛，且每一项 $u_{n}(x)$ 连续，则

（逐项求导定理）：若函数项级数

的每一项在 $[a,b]$ 上具有连续导数，$x_{0}\in[a,b]$ 是级数

的收敛点，且

在 $[a,b]$ 上一致收敛，则

注：逐项求导定理中要求 $x_{0}\in[a,b]$ 是级数

的收敛点是为了应用的方便。其等价条件是级数

在 $[a,b]$ 上收敛。此外，条件中的区间 $[a,b]$ 可换成一般的开区间，结论仍然成立。

对幂级数

对其逐项求导所得的幂级数为

对其逐项积分所得的幂级数为

为方便起见，我们分别将这三个幂级数记为 $(1)$、$(2)$、$(3)$。

为讨论幂级数的逐项求导与逐项积分，先引入如下引理：

引理：幂级数 $(1)$ 与 $(2)$、$(3)$ 具有相同的收敛区间。

证明：只需证明 $(1)$ 与 $(2)$ 具有相同的收敛区间，因为对 $(3)$ 逐项求导即得 $(2)$。

设 $(1)$ 仅在 $x=0$ 处收敛。假设 $(2)$ 在 $x'>0$ 处收敛，则对 $\bar{x}\in(0,x')$，由 Abel 定理，

收敛。因此，

由于已知

收敛，

单调有界。因此，由 Abel 判别法可知

收敛。这与假设矛盾。因此，$(2)$ 也仅在 $x=0$ 处收敛，命题得证。

现设幂级数 $(1)$ 的收敛区间为 $(-R,R)$，其中 $R\neq 0$。设 $x_{0}$ 为 $(-R,R)$ 内任意非零点。由 Abel 定理的证明可见，存在正数 $M$ 与 $r(0<r<1)$，使得对一切正整数 $n$，有

于是，

由比值判别法，级数

收敛。因此，由比较判别法，级数

收敛。这表明幂级数 $(2)$ 在点 $x_{0}$ 处绝对收敛（因而收敛）。由于 $x_{0}$ 是 $(-R,R)$ 内任一点，幂级数 $(2)$ 在区间 $(-R,R)$ 上收敛。

接下来，我们需证明幂级数 $(2)$ 对满足 $\left| x \right|>R$ 的所有 $x$ 均不收敛。设 $(2)$ 在点 $x_{0} (\left| x_{0} \right|>R)$ 处收敛，则存在数 $\bar{x}$，使得 $\left| x_{0} \right|>\left| \bar{x} \right|>R$。由 Abel 定理，幂级数 $(2)$ 在 $x=\bar{x}$ 处绝对收敛。然而，当 $n\geq\left| \bar{x} \right|$ 时，有

由比较判别法，幂级数 $(1)$ 在 $x=\bar{x}$ 处绝对收敛。这与幂级数 $(1)$ 的收敛区间为 $(-R,R)$ 相矛盾。因此，幂级数 $(2)$ 对满足 $\left| x \right|>R$ 的所有 $x$ 均不收敛。综上，幂级数 $(1)$ 与 $(2)$ 具有相同的收敛区间。

关于幂级数的逐项求导与逐项积分，有如下定理：

定理：设级数 $(1)$ 的收敛区间为 $(-R, R)$，其和函数在该区间上记为 $f(x)$。若 $x$ 是 $(-R, R)$ 内任一点，则：

• $(i)$ $f(x)$ 在点 $x$ 处可导，且 $$f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}x^{n-1}}$$
• $(ii)$ $f(x)$ 在 $(-R, R)$ 上可积于区间 $0$ 到 $x$ 之间，且 $$\int_{0}^{x}f(t)dt=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a_{n}}{n+1}x^{n+1}}$$

证明：由于级数 $(1)$、$(2)$、$(3)$ 具有相同的收敛半径 $R$，且级数 $(1)$ 的每一项具有连续导数，又三个幂级数在闭区间 $(-R, R)$ 上一致收敛，故满足函数项级数的逐项求导与逐项积分定理的条件。因此，上述定理成立。

由上述定理可得出如下推论：

推论 1：设 $f(x)$ 为级数 $(1)$ 在收敛区间 $(-R, R)$ 上的和函数。则 $f(x)$ 在 $(-R, R)$ 上具有任意阶导数，且可任意次逐项求导，即

推论 2：设 $f(x)$ 为级数 $(1)$ 在收敛区间 $(-R, R)$ 上的和函数。则级数 $(1)$ 的系数由 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的各阶导数决定：

幂级数的相等：若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 与 $\sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}x^{n}}$ 在 $x=0$ 的某邻域内具有相同的和函数，则称这两个幂级数在该邻域内相等。

由于幂级数的系数由和函数及其在 $x=0$ 处的导数决定，故由幂级数相等的定义可知，两个幂级数在某邻域内相等当且仅当它们的系数对应相等。

幂级数的四则运算：设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ 与 $\sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}x^{n}}$ 的收敛半径分别为 $R_{a}$ 与 $R_{b}$，则：

• $(i)$ $\lambda\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\lambda a_{n}x^{n}},\left| x \right|<R$ ;
• $(ii)$ $\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\pm\sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}x^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}{(a_{n}\pm b_{n})x^{n}},\left| x \right|<R$ ;
• $(iii)$ $(\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}})(\sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}x^{n}})=\sum_{n=0}^{\infty}{c_{n}x^{n}},\left| x \right|<R$ .

其中 $\lambda$ 为常数，且 $R=\min\{ R_{a}, R_{b} \}$，$c_{n}=\sum_{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}$。

这些性质可由数项级数的相应性质推出。

上述关于幂级数的讨论实际上是 Taylor 级数的预备知识。虽然篇幅较大，但对于透彻理解 Taylor 级数是必不可少的。

在前面 Taylor 定理一节中我们曾提到，若函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内具有直到 $n + 1$ 阶的导数，则 Taylor 展开式为：

这里 $R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$，其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x_{0}$ 之间。

受 Taylor 定理形式的启发，若函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处具有任意阶导数，则可构造一个幂级数：

该级数称为函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的 Taylor 级数。现在，我们面临这样的问题：函数 $f(x)$ 与其在 $x_{0}$ 处的 Taylor 级数之间有什么关系？若函数 $f(x)$ 在邻域 $U(x_{0},\delta)$ 内有定义，且其 Taylor 级数在区间 $U(x_{0},R)$ 内收敛，那么函数 $f(x)$ 是否等于其 Taylor 级数在 $U(x_{0},\delta)\cap U(x_{0},R)$ 内的和函数？