数学与画家

前段时间，OpenAI 声称，他们用内部尚未正式发布的模型产出了七百多篇论文，「AI 接替数学家」的叙事于是再一次被推到台前。市场是狂热还是炒作，我已经疲于争论。那七百篇论文是否名副其实，也先放在一边。真正让我想写点东西的，是 Twitter 上一条获得不少认同的帖子。它把数学结构说成人类为了迁就自己那点脑容量而被迫发明的拐杖，把 AI 说成不需要几何直观、可以直接站在高维展开式里往下看的怪物。最后一句尤其漂亮：我们终于拿到了上帝账本里的答案，却发现上帝算账根本不用微积分，他老人家是直接拿计算器硬按出来的。

所谓优雅的数学结构，本质上是人类为了迁就自己那点可怜的脑容量，被迫发明出来的拐杖。
一个顶尖人类数学家的工作内存，撑死也就同时追踪五六个变量的交互。
当你在算一个偏微分方程或者组合不等式时，一旦展开到三阶以上，几十个交叉项涌出来，人脑就直接宕机了。
所以人类数学家极其厌恶展开高阶项，一旦看到高阶项发散，人类的本能反应是此路不通，赶紧退回来找对称性、找不变量、搞同调代数或者几何直观，试图不展开式子就把问题绕过去。
但 AI 没有这个生理缺陷。
对于上万个并发的 Agent 来说，同时追踪一万个五阶交叉项的系数变化，跟我们算 1+1 一样轻松。
在它的视野里，根本不需要什么几何直观，它直接站在高维的代数展开式里往下看，人类觉得像乱麻一样的百项高阶余项，在它眼里就是一张明明白白的线性方程组。
既然把式子硬展开到第七阶，再凑几个待定系数就能让所有讨厌的发散项精准归零，它为什么要费劲去帮你发明一个人类能看懂的新概念？
这 700 个结果背后最无奈的黑色幽默：我们终于拿到了上帝账本里的答案，却发现上帝算账根本不用微积分，他老人家是直接拿计算器硬按出来的。

这套论证值得认真对待，恰恰因为它错得很有代表性：它把人类的工作记忆、数学的审美偏好、AI 的暴力计算串成了一条看似严密的因果链。但这条链中间有一个关键的偷换——它把「人类因为认知限制而偏爱结构」偷换成了「结构只是认知限制的产物」。前者是发生学上的事实，后者是一个关于数学本体的判断。两者之间隔着一整个哲学鸿沟。

画家这个比喻，也许比「拐杖」更接近真相。画家画不出世界上的每一个光子，所以他发明了透视、明暗和构图。但这些都长在真实的结构上：透视是射影几何，明暗是光的传播，构图是视觉心理。一个能逐像素渲染世界的渲染器，仍然跑在同一套射影几何上。暴力计算并没有绕开结构。它把结构执行到了人眼跟不上的规模。数学里的「硬展开」也一样。

它对人类工作记忆的描述大体成立，对数学的判断则基本错了。结构就是数学本身，拐杖之说站不住。AI 同样依赖结构，只不过那种结构人读不懂。问题在于「能不能翻译」，美丑反而次要。而翻译，恰恰是当前 AI 数学产出链条上最缺失的一环。

先承认其中合理的部分。人类的工作记忆确实窄得可怜。Miller 在 1956 年给出著名的 7±2，后来 Cowan 又把它修正到 4±1 左右。数字有争议，但「窄」这个结论没有被推翻。数学家偏爱对称性、不变量、同调，厌恶把式子硬展开，很大程度上确实是认知经济学的产物：找不变量，本质上是把高维信息压缩成一两个人类握得住的符号。AI 在大规模符号展开和并行系数追踪上的优势也是真实的。AlphaTensor 找矩阵乘法算法、各种组合搜索里那些看似暴力、实则依赖结构化搜索空间的路线，确实绕开了人类偏好的那条美学路径。

问题出在下一步。从「人类因为认知限制而偏爱结构」推到「结构只是认知限制的产物」，这是一个发生学谬误。一个东西因为什么被发明出来，并不等于它是什么。望远镜是因为人眼太弱才被造出来的，但这不意味着望远镜里的木星卫星是人类的幻觉。十进制是因为人有十根手指才流行的，但这也不意味着素数分布依赖于手指的数量。数学结构也一样：它可能是因为人脑太窄才被优先发现的，但一旦被发现，它说的就是对象本身的事，与人类脑容量无关。

把 Galois 群说成「人类算不动五次方程，所以编个借口说它不可解」，是一种误解。它本身是一个定理：一个方程能用根式解，当且仅当它的 Galois 群可解。五次一般方程对应的对称群 S5 不是可解群，所以没有根式解。这个结论与人类的工作记忆无关。就算人类有无限的工作记忆，S5 依然不是可解群，这个定理依然成立。同样，Noether 定理把连续对称性和守恒律绑在一起。把它说成「人类看不懂，所以画个对称性的图安慰自己」，也是一种误解。它说的是物理世界的一条结构事实：如果世界没有这种对称性，相应的守恒律就不存在。同调群也常被误解成「空间太复杂，人类算不动，所以发明一个符号糊弄过去」。它探测的是空间的洞，而它作为不变量能被计算，本身依赖链复形这一整套结构。

此外，它的说服力有很大一部分来自修辞。「可怜的脑容量」「拐杖」「硬按」——这些词先把你放在一个需要被怜悯的位置，再让你接受结论。把修辞剥掉，论证的核心其实只有一句：人脑窄，AI 不窄，所以结构是拐杖。而这句话恰恰是跳步的。

退一步说，就算 AI 真的把式子硬展开到第七阶，把所有发散项精准归零，它拿到的只是一张针对这个特例的系数表，换一个情形就未必管用。它能告诉你「这里可以归零」，但不能告诉你「为什么这里必然可以归零」。前者是答案，后者才是数学。打个比方：给你七百个点，你总可以找到一个不超过 699 次的多项式，让它精确穿过每一个点。但这只是插值，够不上理解。它在七百个点之外没有任何预测力。硬展开加待定系数，本质上就是高维版本的插值——你用一个足够大的展开式，把眼前的项全部按住，然后宣布问题解决了。可数学要的是「为什么会这样，以及换一个情形会怎样」。「按住」远远不够。

照这个逻辑，AI 不需要几何直观，可以直接站在高维的代数展开式里往下看。这个画面假设存在一个「没有直观」的视角。但任何计算都发生在某种表示里，而表示本身就是一种结构。Transformer 的注意力是内容相关的路由，等变网络把对称性硬编码进架构，神经算子学的是函数空间之间的映射——这些做法都把结构写进了模型，只是藏得比较深。没有免费午餐定理早就说过，不存在对所有问题都最优的通用学习器。每一个能学的模型，都带着自己的归纳偏置。所谓「不需要直观的 AI」，只是把直观藏进了架构里，让人看不见而已。

AlphaTensor 常被拿来当例子，但它恰恰站在这个论证的反面。DeepMind 并没有枚举所有可能的算法。它在张量分解的结构化空间里做强化学习搜索。它能找到 Strassen 式的算法，正是因为搜索空间被结构约束过。把 AlphaTensor 说成「暴力硬算」的证据，是对它的误读。

更有意思的是，AI 自己的前沿正在往结构走，纯暴力那条路反而越走越窄。等变网络、神经算子、状态空间模型、注意力机制，都是在把某种先验写进模型。为什么？因为纯暴力在高维会指数爆炸。这个领域最聪明的一批人，正在用工程手段重新发明数学家一百年前就熟悉的那些东西：对称性、局部性、可分解性。AI 的研究者自己正在沿着那条路径追赶，「绕开审美」的预言并没有发生。

技术细节上也站不住。「高阶项发散」常被当作「项太多、人脑装不下」的同义词。但在很多场合，发散属于表示问题，跟项数多少关系不大：这个展开本身是一个渐近级数，并不收敛。渐近级数在前几项可以给出极好的近似，但继续展开不会逼近真值。你需要的是重求和、解析延拓，或者换一个表示。数学家看到发散就后退，是因为他们知道「继续展开」不会自动收敛。这时候该做的是换一种表示，把项数堆得更高没有用。AI 就算把发散项凑没了，也可能只找到一种形式上的消去，并未得到收敛的表示。

即便并行 Agent 真的能同时追踪一万个五阶交叉项，代价也不是零。算力、内存、通信都会随着项数组合爆炸。「并行」被当成了免费的午餐。更关键的是，这个天花板背后还有复杂性理论：在普遍接受的复杂性假设下，有些问题是内在难解的——问题本身的复杂度摆在那里，跟聪明与否关系不大。「人脑太小」和「问题太难」被混为一谈了。就算给一个无限工作记忆的理想智能体，它也会撞上指数爆炸。人类偏爱结构，既因为脑子小，也因为问题本身硬。

所以，AI 可以使用一种人读不懂的结构。硬展开同样有结构，只不过这种结构被执行到了人跟不上的规模。一个逐像素渲染的渲染器，算得比任何画家都细，却始终跑在射影几何上，把透视算到了人眼看不见的精度。AI 的硬展开也一样：它把代数结构展开到了人脑装不下的长度，却始终在代数结构之内。

「上帝拿计算器硬按」假设答案先于结构存在。它背后是一个很朴素的柏拉图式画面：答案早就躺在那里，结构只是人类够不着时用的梯子。但数学的实践不是这样。很多答案是在结构被发明出来之后才成为「答案」的。

一个猜想在 n=5 成立、在 n=6 崩掉，硬算给你两个数。结构告诉你边界在哪里，以及为什么边界在那里。两个数可以和无穷多个故事相容，结构帮你挑出正确的那个。更一般地，硬算只能处理有限多个情形。即使你在计算机上验证费马大定理到 n 等于十亿，也不构成对所有的 n 的证明。Wiles 的证明之所以成立，靠的是模形式这座桥，把问题接到了另一个世界。计算量的大小并非关键。

知道一个命题为真，和知道它为什么为真，不是一回事。前者是证明，后者是理解。硬算可以给你前者，未必给你后者。而且，硬算能证明的通常只是有限多个特例。一旦命题是全称的，你就需要结构、归纳或者某种不变量，才能跨过「有限」到「所有」的鸿沟。七百个结果里可能有一些本身就是关于有限对象的定理，本身就有价值。但如果它们大多是硬展开出来的特例，那么它们更像是一批精确的数值事实，未必是可迁移的定理。另外，「七百篇论文」和「七百个结果」不是一回事。前者可能包含大量增量工作，后者才是数学意义上的成果。这个区分本身就值得追问，但先放在一边。

数学史上早有「先有黑箱，后有理解」的先例。四色定理 1976 年由机器辅助证明，当时吵得很厉害。后来人类花了很多年去简化、去压缩，形式化验证也完成了，但「机器证明算不算理解」这个问题并没有完全消失。Kepler 猜想被 Hales 用大规模计算机辅助证明，后来又有 Flyspeck 项目做形式化验证。模式很清楚：先拿到一个可验证但不可读的答案，再花一代人把它翻译成人类握得住的结构。翻译可能失败，也可能要几代人，但「现在翻译不出来」从来不足以让人停下来。

而且，人类数学自己也早就遇到过不可读的问题。有限单群分类定理的证明上万页，散落在几百篇文章里，据说至今没有人从头到尾读完。这是人类自己造出来的黑箱。区别只在于规模：人类数学在二十世纪就已经开始生产超出个体阅读能力的结果，AI 只是把这个趋势推得更远。

黑箱当然有价值。它可以被引用、被使用、被当作下一步的踏脚石。但它的价值有一个天花板：验证成本无法摊销。一个你理解了的定理，可以在一段话里教给别人，可以在新问题里直接调用。一个你不理解的黑箱，每用一次都要重新跑一遍、重新信一遍。理解之所以重要，是因为它把验证成本压缩成了可复用的结构。没有理解，知识就不能以低成本累积。

把这种思路推到极端：也许黑箱就是数学的新常态。也许未来的数学单位会从定理变成证书。数学家追求的东西，也会从「看懂」转向「可验证、可组合、可规模化」。这是一个严肃的可能性，我不打算轻易否定它。但它比「AI 算得更快」是一个大得多的主张：它改变的是数学知识的定义，速度倒在其次。而且，就算走到那一步，信任基础设施本身仍然是结构：证书格式、证明助理、可复现性标准、社区共识。黑箱的未来并未取消结构，只不过把结构挪到了另一个地方。

至于审美，AI 正在用一个丑但有效的答案挑战「美是数学的先验判据」这个前提。这个前提站不住。

数学史上「丑的真理」屡见不鲜。三次方程的求根公式在 16 世纪就撞上了 casus irreducibilis：三个实根，却必须经过复数才能算出来。当时的数学家觉得这近乎荒谬。非欧几何刚出来的时候，高斯不敢公开发表。Cantor 的无穷集合遭到 Kronecker 的激烈反对。Weierstrass 造出处处连续、处处不可导的函数，被当时的许多人视为病态。Banach-Tarski 分球悖论更是像在说「数学不该长这样」。后来的处理方式，是扩写美的定义，把这些东西留下来。复数变成了复平面上的几何，非欧几何变成了曲率，病态函数催生了测度论，也逼着拓扑学重新审视连续与收敛。分球悖论则逼着人们去追问选择公理到底意味着什么。丑的东西待得够久，人类就会给它找一套它配得上的语言。语言找到了，它就不丑了。

所以，美更像事后的评价。数学家说一个证明美，通常是在说：它把原本分散的东西统一了，没有多余的假设，并且揭示了机制。这些都是理解完成之后的判词，很难充当发现之前的门槛。历史上真正被审美直觉挡在门外的结果——比如 Galois 生前没能发表的手稿——事后看，那是审美的失败，数学本身并没有失败。

但也不要走到另一个极端，把审美说成纯粹的非理性。审美其实是一个关于「可压缩性」的启发式：一个漂亮的证明，往往更容易推广、更容易迁移、更容易在别的问题里复用。它当然会犯错，但命中率并不低。数学家对丑的警惕，除了对陌生的恐惧，还包含一种合理怀疑：这东西也许无法一般化。把审美当成纯粹的偏见，这太便宜了。

所以，「能不能翻译」比「美不美」更值得问。丑是可以忍受的，只要它能在可接受的成本内被压缩成一套可迁移的结构。丑而无法批量翻译，才是真正的问题。对 AI 那七百个结果，关键在翻译成本：把它们变成人类可读的结构要花多大代价，这个代价能不能被规模化地摊薄。如果每个结果都需要一位数学家花十年去反推，那七百个结果的边际价值就取决于翻译的规模化程度——而这恰恰是 AI 可能帮上忙的地方：让 AI 去搜「能压缩这七百个结果的统一框架」。丑不可怕，可怕的是丑得无法批量处理。

「地球灭亡之前，人类没法理解的事情肯定存在。」这句话我同意。Gödel 的不完备定理保证了真而不可证的东西存在，复杂性理论则告诉我们，一大批问题在可接受的资源内算不动。但这句话不能推出「所以现在别理解了」。

从「存在无法理解的东西」推不出「眼前这七百个就是无法理解的」。这是一个很基本的逻辑错误：存在量词不能这样实例化。而且，可理解域的边界是未知的，历史上每一次都被推得比预期远得多。Hilbert 纲领失败了，但失败本身催生了证明论和可计算性理论，也深刻改变了模型论的问题意识。数学的边界更像一片雾。你往前走，雾就退一点。

理解有许多层次。我们理解热力学，不需要追踪每一个分子。同样，我们理解一个函数，不需要它的封闭形式。七百个结果可能在细粒度上不可读，但在粗粒度上仍然可以被理解：它们可能共享某种对称性、某种生成机制、某种还没被命名的结构。放弃理解需要「已经证明这里推不动」。「现在看着像一团乱麻」还不够。前者是数学，后者是情绪。

另外，AI 的方法太有针对性，这是数学界最实在的批评之一。以前一个理论出来，不仅解决目标问题，还会带来一整套工具箱，影响其他领域。现在的 AI 方法往往只解决目标问题，然后就结束了。

这条批评有它的道理。人类数学的溢出效应是结构性的。Galois 理论本来是为了解五次方程，产出的群论和域扩张后来成了整个代数的主干。Riemann 为了理解素数分布把复分析引进数论，他的几何工作又养活了微分几何和拓扑。同调代数从拓扑里长出来，最后变成了交换代数、代数几何、表示论的通用语法。目标问题是钩子，工具箱才是本体。数学界评价一个工作，隐含的标准是「它留下了什么可复用的东西」。「它证明了什么」只是起点。

AI 目前的产出恰好踩在这个标准的反面。AlphaTensor 找矩阵乘法算法、组合搜索、符号回归凑公式，共同特征是：针对特定实例、依赖大规模搜索、结果的可迁移性有限。它优化的是「这个问题有没有解、解是什么」。「这类问题的结构长什么样」则被放在一边。一个只针对单点的工具，边际价值确实低，尤其当它消耗的算力还能拿去做别的事。

但针对性太强，是 AI 的局限，还是当前阶段的局限？历史上「针对性太强」的批评也落在过人类自己头上。数值分析早期被纯数学家看不起，觉得是工程凑数，后来它长出了稳定性、收敛阶、条件数这一整套理论。概率论被当成赌博工具几百年，Kolmogorov 公理化之后才翻身。针对性强的工具，如果被反复使用，往往会倒逼出一般理论。差别在于：人类工具的一般化是被使用者的需求驱动的，慢但稳。AI 工具的一般化目前没有人系统性地做，因为发论文的激励在「又刷了一个纪录」，不在「把这套方法抽象成可复用的框架」。

所以，真正缺的，是有人负责把针对性的方法一般化。「AI 方法针对性太强」只是表象。人类数学家有同行评议和长期声誉在逼他们想「这东西能不能推广」。AI 数学的产出链条里，这个环节目前是断的。如果哪天真有团队认真做「把七百个硬展开结果反推成一个统一框架」，而且做成了，那这条批评就自动消解了。但这件事的难度不比发现那七百个结果低，甚至更高：归纳一个框架，靠的是猜对抽象层级，算力反而次要。而这恰恰是目前最说不清楚 AI 能不能做好的部分。

翻译是一项制度功能，很难靠某位数学家的英雄行为完成。人类数学之所以能把计算变成结构，靠的是一整套同行评议、教科书、研讨会和长期声誉的机器，在逼着每一代人去问「这东西能不能推广」。个别天才只是其中一环。AI 数学现在缺的，正是这台机器，算力和聪明的模型都还在其次。真正的瓶颈在分工，认知带宽不是主要问题。

这套论证的力量来自三个漂亮的偷换，把动机当成定义，把事后的判词当成先验的门槛，把答案当成理解。

但挑战是真的，只是位置放错了：我们把计算翻译成结构的制度，没有跟上计算的速度。「AI 比人算得快」只是表面。

画家画不出世界上的每一个光子，所以他发明透视。但透视是射影几何，跟「眼睛不行」没有关系。

今天最强的渲染器可以逐像素地硬算，但它仍然跑在透视的数学上。硬算并没有取消结构。它把结构算到了人眼跟不上的地方。

上帝或许真的在用计算器。但账本不是给计算器看的。人类接下来要做的，是翻译账本，让计算器的结果变得可读。

所以说，AI 在未来会彻底取代数学研究的劳动吗？

我认为不会，而且在未来很长一段时间里，都不会，至少在 AGI 诞生之前永远不会。

砸掉计算器解决不了问题。数学的下一份工作，也许要从「发现」转向「翻译」。